BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH
Bài 1: Cho tập hợp
. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số trong tập A sao cho hiệu của hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2.
Giải:
Ta cần tìm số phần tử của tập T sau:


Xét tập hợp

Xét ánh xạ f cho tương ứng mỗi bộ
với bộ
xác định như sau:

.
Dễ thấy khi đó f là một song ánh, suy ra
.
Mặt khác mỗi bộ
trong H là một tổ hợp chập 5 của 14 phần tử.
Do đó
. Vậy
.
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi một (chữ số đầu tiên khác 0) và nhỏ hơn 600000.
Giải:
Tìm được kết quả
.
Bài 3: Tìm số thực x thỏa mãn

Giải:


Do đó

Vậy
.
Bài 4: Chứng minh rằng

Giải:

và
nên

Mặc khác
và
nên

Mà
nên
hay
.
Bài 5: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 9.
Giải:
Chữ số đầu tiên có 9 cách chọn và có
cách chọn cho 7 vị trí còn lại. Vậy có
.
Giả sử
. Ta thấy tổng các phần tử của B bằng 45 và
nên số có chín chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 sẽ được tạo thành từ tám chữ số đôi một khác nhau của các tập
nên số các số loại này là
.
Vậy xác suất ần tìm là
.
Bài 6: Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.
Giải:
Ta có:

Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có:
Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là
. Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp rời nhau sau đây:
TH1. Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 3! hoán vị của các vị trí mà a, a, a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH1 này có cả thảy
số tự nhiên.
TH2. 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà b, b chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH2 này có cả thảy
số tự nhiên.
Vậy:
.
Kết luận:
.
Bài 7: Từ các chữ số 0;2;3;5;6;8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau.
Giải:
Gọi
là số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được thiết lập từ
.
Ta có
số dạng

Cần tìm tất cả các số có hai chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau trong các số trên.
Có 5 vị trí trong mỗi số
để hai chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau, trong đó vị trí đầu bên trái chỉ có một khả năng là
, các vị trí còn lại có thể hoán vị 0 và 5.
Sau khi chọn vị trí để hai chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau, ta chọn một hoán vị các chữ số còn lại. Do đó có
số dạng
, trong đó hai chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau.
Vậy có
số thỏa mãn yêu cần bài toán.