CHUYÊN ĐỀ

KHẢO SÁT HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

I. Sơ đồ khảo sát hàm số

1. Tìm tập xác định của hàm số
2. Sự biến thiên
a) Chiều biến thiên
( Tính

( Tìm các nghiệm của phương trình
và các điểm tại đó
không xác định
( Xét dấu
và suy ra chiều biến thiên của hàm số
b) Tìm cực trị
c) Tìm các giới hạn vô cực; các giới hạn
và tại các điểm mà hàm số không xác định. Tìm các tiêm cận đứng và ngang(nếu có)
d) Lập bảng biến thiên
3. Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị
Chú ý:
Để vẽ đồ thị hàm số chính xác:
- Tính thêm tọa độ của một số điểm, đặt biệt nên tính các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Lưu ý tính chất đối xứng(qua trục, qua tâm...) của đồ thị.
II. Các dạng toán thường gặp

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Tìm điều kiện để hàm số
đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định).
( Hàm số f đồng biến trên D (
và
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.
( Hàm số f nghịch biến trên D (
và
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc
D.
( Nếu
thì:
+
+

2. Tìm điều kiện để hàm số
đơn điệu trên khoảng
.
Ta có:
.
a) Hàm số f đồng biến trên
(
và
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc
.
( Nếu bất phương trình
(*) thì f đồng biến trên
(

( Nếu bất phương trình
(**) thì f đồng biến trên
(

b) Hàm số f nghịch biến trên
(
và
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc
.
( Nếu bất phương trình
(*) thì f nghịch biến trên
(

( Nếu bất phương trình
(**) thì f nghịch biến trên
(

3. Tìm điều kiện để hàm số
đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng d cho trước.
( f đơn điệu trên khoảng
(
có 2 nghiệm phân biệt
(
(1)
( Biến đổi
thành
(2)
( Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
( Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1
+ Tìm TXĐ
+ Tính
. Cho
tìm nghiệm (nếu có)
+ Lập bảng biến thiên
+ Kết luận : Hàm số đạt cực đại tại x =… và yCĐ = …
Hàm số đạt cực tiểu tại x =… và yCT = …
Quy tắc 2
+ Tìm TXĐ
+ Tính
. Cho
tìm các nghiệm xi
+ Tính
. Tính

+ Kết luận :

HS đạt CT tại xi và yCT =…

HS đạt CĐ tại xi và yCĐ =…
2. Tìm m để hàm số có ( không có) cưc trị.
(Lưu ý : hàm số có cực trị khi
có nghiệm và
đổi dấu khi qua nghiệm đó)
Tìm TXĐ
Tính

Hàm bậc ba có cực trị ( hoặc có CĐ, CT hoặc có 2 cực trị)
pt
có hai nghiệm phân biệt

. Suy ra m.
Hàm bậc ba không có cực trị
có nghiệm kép hoặc vô nghiệm
Hàm
có cực trị
có hai nghiệm phân biệt khác x0 ( với x0 là nghiệm ở mẫu)

( với g(x) = tử số của
). Giải hệ tìm m.
3. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x0.
Tìm TXĐ
Tính

Hàm số đạt cực trị tại x = x0
. Tìm m
Với mỗi giá trị m tìm được, ta thay vào
. Lập bảng biến thiên. Dựa vào BBT kết luận m đó có thỏa ycbt không.
4. Tìm m để hàm số đạt cực đại ( CT ) tại x = x0
Tìm TXĐ
Tính

Hàm số đạt cực đại tại x = x0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0

Giải hệ tìm m.
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
5. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng
.
( Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
( Viết phương trình đường thẳng