CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1. Kiến thức liên quan
1.1. Công thức nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm của hàm số cơ bản
Nguyên hàm mở rộng














































1.2. Công thức tích phân
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì


1.3. Phương pháp đổi biến số
1.3.1. Dạng 1 : Tính I =

+ Đặt t =


x
 a b

t




 + Đổi cận:


I =

1.3.2. Dạng 2 : Tính I =
bằng cách đặt x =

Dạng chứa
 : Đặt x = asint, t
(a>0)
1.4. Phương pháp tích phân từng phần
* Công thức tính :


( Đặt



Ta thường gặp các loại tích phân như sau:
* Loại 1:

, trong đó
là đa thức bậc n.
*Loại 2:

* Loại 3:



1.5. Tính chất tích phân
Tính chất 1:
, k: hằng số
Tính chất 2:

Tính chất 3:


1.6. Diện tích hình phẳng
1.6.1. Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là:

(*)
Lưu ý:

vô nghiệm trên (a;b) thì



có 1 nghiệm
thì


1.6.2. Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là:

(**)
Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối của công thức (**) thực hiện tương tự đối với công thức (*).
1.7. Thể tích vật thể tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:


Lưu ý: Diện tích, thể tích đều là những giá trị dương.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau



Lời giải










Ví dụ 2. Tính các tích phân sau



Lời giải


Đặt
ta được

Đổi cận:

Khi đó



Đặt
ta được

Đổi cận

Khi đó



Tính
ta được kết quả

Đặt
ta được

Đổi cận

Khi đó


Vậy ta được



Tính
ta được kết quả

Tính

Đặt
ta được

Đổi cận

Khi đó

Vậy ta được

Ví dụ 3. Tính các tích phân sau



Lời giải


Đặt

Đổi cận

Khi đó



Đặt

Đổi cận

Khi đó



Đặt







* Chú ý: Ta thường đặt t là căn, mũ, mẫu.
- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất.
- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.
- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức.
- Nếu tích phân chứa
thì đặt
.
- Nếu tích phân chứa
thì đặt
.
- Nếu tích phân chứa
thì đặt
.
- Nếu tích phân chứa
thì đặt
.
- Nếu tích phân chứa
thì đặt
.
- Nếu tích phân chứa
thì đặt
.
- Nếu tích phân chứa
thì đặt
.
- Nếu tích phân chứa
thì đặt
.


Ví dụ 4. Tính các tích phân
a)




Lời giải
a)